ОЧЕНЬ СТАРАЛСЯ ДАЙ 100 Б
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.Рассмотрим векторы и : рис. 1Рис. 1. Векторы и Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам: рис. 2, 3.Рис. 2. Векторы на плоскости
Рис. 3. Разложение вектора через два неколлинеарныхДанный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:Напомним, что коллинеарными называются векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.
Если вектор можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то вектора и компланарны.Рис. 4. Сложение векторов в пространствеРассмотрим три вектора и в пространстве. На плоскости мы строили параллелограмм на двух заданных векторах. В пространстве же мы можем построить параллелепипед на трех заданных векторах. Найдем сумму этих векторов (рис. 4).Из точки К откладываем заданные векторы. Достраиваем параллелепипед. Суммой трех заданных векторов будет диагональ параллелепипеда: Данный факт легко доказать с помощью правила многоугольника. Согласно свойствам параллелепипеда, имеем пары равных векторов: , . Так, получаем: , ч.т.д.Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы и . Тогда любой вектор можно представить в виде суммы: , где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.
Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.Доказательство.Рис. 5. Разложение вектора по трем некомпланарнымДано: некомпланарные векторы и , произвольный вектор .Построим все заданные векторы из одной точки – точки О (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами и . Из точки Р проведем прямую , параллельно направлению . – точка пересечения плоскости и прямой. Векторы и по построению коллинеарны, значит имеем: . Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: . Вектор мы нашли. Вектор , согласно построению, лежит в плоскости векторов и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: .Так, получено разложение произвольного вектора в пространстве через три некомпланарных вектора: Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. . Имеем систему:Вычтем из первого уравнения второе:Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: , , .Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.Итак, мы рассмотрели понятие компланарности векторов, доказали теоремы о разложении векторов на плоскости и в пространстве, рассмотрели сумму векторов в пространстве. Список литературыИ. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил. Домашнее заданиев тетраэдре DABC M – точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите вектор по векторам в параллелепипеде точка М принадлежит ребру AD, причем АМ:MD=1:3. Точка Р принадлежит ребру DC, . Разложите вектор по векторам используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.