а) f(x) =x² -x ⇒ f(xо) =xo² -xo ;
1. f(xо+Δx) =(xo+Δx)² -(xo +Δx) ;
2. f(xо+Δx) - f(xо) =((xo+Δx)² -(xo +Δx) ) -(xo² -xo) ;
3. ( f(xо+Δx) - f(xо))/Δx =(((xo+Δx)² -(xo +Δx) ) -(xo² -xo) ) /Δx =
(xo² +2xo*Δx +(Δx)² - xo - Δx -xo² +xo)/Δx =(2xo -1) + Δx ;
Еще один шаг и производная этой функции готово:
4) y '(xo)=Lim( f(xо+Δx) - f(xо) )/Δx =Lim( (2xo -1) + Δx )= 2xo -1.
Δx→0 Δx→0
-----------------------
б) ( f(xо+Δx) - f(xо))/Δx = (( xo +Δx)³ +2) -(xo³ +2))/Δx =
(xo³ +3xo²Δx +3xo(Δx)² +(Δx)³ +2 - xo³ -2)/Δx =3xo² + 0 +3xo(Δx) +(Δx)² .
-----------------------
в) ( f(xо+Δx) - f(xо))/Δx =(2/(xo+Δx) - 2/xo)/Δx =
2(xo -xo - Δx)/(xo+ Δx)*xo* Δx= - 2/(xo² +xo*Δx) .
-----------------------
г) ( f(xо+Δx) - f(xо))/Δx =( (3(xo+Δx) -1) - (3xo -1) )/Δx =
(3xo +3Δx -1 - 3xo +1)/ Δx= 3. - 0 .