В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, AE и BD равны...

Question

В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE, CF. Длины отрезков AF, AE и BD равны соответственно 3см, 4см и 5 см. Вычислить периметр треугольника.

Answer 1

Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то площадь `S_1` треугольника АСМ равна половине площади `S` треугольника АВС
Обозначим `BC=a`, `AC=b`, `/_DCB=alpha`, тогда `S_1=1/2*a/2*9*sinalpha +1/2*b*9*sinalpha=9/2*sinalpha*(a/2+b)`. Аналогично `S=1/2*14*sinalpha*(a+b)`. Так как `S=2S_1`, то `a:b=4:5` и `a=4/5*b`. Отсюда `AB=3/5*b`. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника `BD : DA=4:5`, поэтому можно положить `BD=4x`, `DA=5x`. Тогда `AB=9x`, `b=15x`, `a=12x`. Так как `14^2=(12x)^2+(4x)^2`, то `x^2=196/160=49/40`. Отсюда площадь треугольника АВС равна `1/2*9x*12x=(1323)/(20)`
Ответ:`(1323)/(20)

Answer 2

Мы знаем, что медиана, проведенная из вершины делит противоположную сторону пополам... Значит, если AF=3, то BF = 3, соответственно.. AB=3+3, AB= 6, Если AE=4, то EC=4, значит AC= 4+4, AC=8... Если BD=5, то DC-5 , BC= 5+5, BC=10... Периметр- сумма длин всех сторон, значит, P= AB+AC+BC, P = 6+8+10, P=24 Ответ:24