Тема: Изображение комплексных чисел на координатной плоскости Известно, что...

Попробуем так $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3} \neq 0 \\ |z_{1}+z_{2}+z_{3}|=0\\$
положим что существуют такие числа $z_{1}=a+ib\\ z_{2}=c+id\\ z_{3}=e+if\\$
и такие что $a;b \neq c;d \neq e;f\\$
По условию
$|z_{1}|=\sqrt{a^2+b^2} \\ |z_{2}| = \sqrt{c^2+d^2}\\ |z_{3}| = \sqrt{e^2+f^2}$
и $(a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0$
то есть имеет места система
$\left \{ {{a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2 } \atop { (a+c+e)^2+(b+d+f)^2=0}} \right.$
Со второй системы уравнения следует что
$\left \{ {{a+c+e=0} \atop {b+d+f=0}} \right.$
Тогда как выразим $c$ и $d$ с данного уравнения и подставим в выражение
$ac+bd;ec+fd$
Теперь выразим $e ; f$ и подставим в выражения
$ec+fd;\\ ea+bf$
Получим
$a^2+b^2= c^2+d^2\\ c^2+d^2=e^2+f^2$
Значит выражения
$ac+bd=ec+fd=ea+bf$ ,
Заметим что $(c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd) \\ (e-c)^2+(f-d)^2=e^2+f^2+c^2+d^2-2(ec+fd)\\ (e-a)^2+(f-b)^2 = e^2+a^2+f^2+b^2-2(ea+bf)$
Учитывая что
$|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|$
Получим что три выше сказанные выражения равны
а так как    $(c-a)^2+(d-b)^2 ; (e-c)^2+(f-d)^2 ; (e-a)^2+(f-b)^2$ - есть стороны длины и они как доказали равны , то есть удовлетворяют равенству сторон , а это в свою очередь равносторонний треугольник.

Тема: Изображение комплексных чисел ** координатной плоскости Известно, что...