Полное исследование функции y=x^3+3x+2

Question

Полное исследование функции y=x^3+3x+2

Answer 1

F(x) =x³ +3x +2 ;
1)
 D(f) =(-∞; ∞) .
2) Функция  ни  четная , ни нечетная ;  не периодическая.
3) x =0 ⇒y =2 
A(0 ;2) ∈ Гю
4) определяем экстремумы функции:
f '(x) =(x³ +3x +2) ' =3x² +3 > 0  функция  возрастает.
 не имеет  экстремумы 
5) f ''(x)  =(f '(x))' =(3x² +3)' =6x ;
f ''(x)=0⇒x =0;
P(0 ;2) _точка перегиба
Если x < 0 ⇒f ''(x) <0 ⇔дуга графики  выпуклая .<br>Если  x > 0⇒f ''(x) <0⇔ дуга графики  вогнутая.<br>6) график функции не имеет асимптоты
-----------------------------------------
При  x--> -∞ ⇒y --> -∞.
 x--> ∞ ⇒y --> ∞

*********************************************
f₁(x) =x³ +3x _ нечетная функция
f(x) =f₁(x) +2;

Answer 2

При построении графиков функций более сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана:  
1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - вся числовая ось.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной - функция   не является   ни чётной, ни нечётной .
3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции):
х = 0   у = 2   - пересечение оси у,
у = 0    х³ +3х + 2 = 0     х = -0,596072.
5. Найти асимптоты графика - их нет.
6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.
Для этого находим производную и приравниваем её 0:
f'(x) = 3x² + 3 = 0.
           3(x² + 1) = 0
              x² = -1    решения нет, нет критических точек.
7. Найти промежутки монотонности функции - производная в любой точке положительна, функция на всей числовой оси возрастающая.
8. Определить экстремумы функции f(x) - их нет.
9. Вычислить вторую производную f''(x):
f'(x) = 6x = 0    х = 0.
10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба:
от -∞  до 0 - график выпуклый, от 0 до ∞  - вогнутый.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый
11. Построить график, используя полученные результаты исследования - дан в приложении.