200 Баллов за подробное решение. Радиус-вектор частицы изменяется по закону: r = 3ti +...

Question

200 Баллов за подробное решение. Радиус-вектор частицы изменяется по закону: r = 3ti + t^3 j. Определить: а) уравнение траектории частицы, б) скорость и ускорение частицы в момент времени t0 = 2 с, в) касательное и нормальное ускорение точки в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории R.

Answer 1

r = 3t i + t³ j
x(t) = 3t; y(t) = t³;
1) Из х = 3t ---> t = х/3 подставим в у(t)
у = (х/3)³ = х³/27
Траектория  y = х³/27
2) Проекции вектора скорости на оси
Vx(t) = x'(t) = 3;  Vy(t) = y'(t) = 3х²/27 = х²/9;
В момент времени to = 2c
Vx = 3;  Vy = 4/9;
Модуль скорости V = √(Vx² + Vy²) = √(9 + 16/81) = √745/81 ≈ 3,033
Скорость  V = 3,033
3) Проекции ускорения на оси
ax = Vx'(t) = 0;  ay = Vy'(t) = 2х/9 при tо = 2с ау = 4/9
Полное ускорение точки а = ау = 4/9 ≈ 0,444
Касательное ускорение: аτ = (ах·Vx + ay·Vy)/V
аτ = (0·3 + 4/9 · 4/9)/3,033 = 16/81 : 3,033 = 0,0651
Касательное ускорение аτ = 0,0651
Нормальное ускорение an = √(a² - аτ²) = √(0,444² - 0,0651²) = √0,1933 ≈ 0,44
Нормальное ускорение an = 0,44
Радиус кривизны траектории
ρ = V²/an  = 3,033²/0,44 ≈ 20,92
Радиус кривизны ρ = 20,92