в равнобедренном треугольнике к боковой стороне длинной 4 см проведена медиана, равная 3...

Верхнее решение правильно при условии, что медиана=высоте, а у нас явное условие - медиана проведена к боковой стороне (!). Потому:

Пусть в тр-ке АВС имеем АВ = ВС =4, медиана АК =3
1) В тр-ке АВК имеем
АВ =4, ВК = 2 ( 4:2 =2), АК =3
по теореме косинусов
cos B = 11/16
2) В тр-ке АВС имеем
АВ =ВС =4, cos B = 11/16
тогда по теореме косинусов
АС² = 10

AC = $\sqrt{10}$ - основание треугольника

P = AB+BC+AC=3+4+ $\sqrt{10}$ - периметр треугольника

Второе решение
Продолжим медиану АК и отложим КД = АК. Тогда получим параллелограмм АВДС у которого
АВ = СД =4, АС = ВД =х, ВС =4, АД = 3+3 =6
Теорема.
В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, тогда
4² +4²+х²+х² = 4² +6²
отсюда
х² =10 = АС²

AC = $\sqrt{10}$ - основание треугольника

P = AB+BC+AC=3+4+ $\sqrt{10}$ - периметр треугольника