Докажем, что равны треугольники MOP и KNO.
Угол МОР равен углу КON как вертикальные.
Угол РМО равен углу КNO как накрест лежащие.
И по условию стороны MO=NO. Следовательно треугольники MOP и KNO равны по стороне и двум прилежащим углам.
Значит РО=КО и треугольники PON и MOK так же равны.
Следовательно углы OKM и OPN равны. А они являются накрест лежащими при пересечении прямой РК двух прямых KM и NP. Значит прямые KM и NP параллельны.