Какой цифрой оканчивается число 777в степени 200??

Во-первых, 777≡7 (mod 10), следовательно, $777^{200}$ ≡ $7^{200}$ (mod 10). Найдем несколько степеней числа 7:

$7^0=1$
$7^1=7$
$7^2=49$
$7^3=343$
$7^4=2401$
$7^5=16807$

Заметим, что $7^0$ и $7^4$ оканчиваются на одну цифру 1; $7^1$ и $7^5$ также оканчиваются на одну цифру 7. Последняя цифра в степенях числа 7 будет повторяться через 4, т.е., более строго, для любых целых неотрицательных чисел m и n верно утверждение:

$7^{4m+n}$ ≡ $7^n$ (mod 10)

Подставим m=50, n=0 и получим:

$7^{4*50+0}$ ≡ $7^0$ (mod 10)

То есть,

$7^{200}$ ≡ $1$ (mod 10)

Так как

$777^{200}$ ≡ $7^{200}$ (mod 10), то

$777^{200}$ ≡ $1$ (mod 10).

Это значит, что последняя цифра в десятичной записи числа $777^{200}$ равна 1.

Ответ: цифрой 1.