Небольшой пример. Надеюсь, на лучший ответ

$( \frac{4}{9} )^{x+3}\ \textless \ 1 \\ \\ ( \frac{4}{9} )^{x+3}\ \textless \ ( \frac{4}{9} )^0 \\ \\ x+3\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ -3$

Отрезок в дано: $[-6;3]$
Мы получили отрезок: $(-3;+\infty)$

Объединяем и получаем: $(-3;3]$

Считаем целочисленные решения неравенства, входящие в промежуток
$-2,-1,0,1,2,3$ . Итого: 6 штук.

Ответ: $6$

Небольшой пример. Надеюсь, ** лучший ответ