Пусть f(x) — положительная непрерывная функция, принимающая в целых точках целые значения...

Question

Пусть f(x) — положительная непрерывная функция, принимающая в целых точках целые значения и удовлетворяющая условию f(x) + f( 4 - x ) = 8. Найдите количество целых точек, лежащих в области, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x = -8 и x = 12 (включая границу).

Answer 1

F(-8)+f(12)=8
f(-7)+f(11)=8
f(-6)+f(10)=8
... и т.д.
f(0)+f(4)=8
f(1)+f(3)=8 (всего 10 таких строчек) и последняя:
f(2)+f(2)=8, откуда f(2)=4.
Т.к. количество целых точек в нашей области равно
(1+f(-8))+...+(1+f(12))=21+(f(-8)+f(12))+...+(f(1)+f(3))+f(2)=21+8*10+4=105.
(в каждой скобке +1, потому что учитываем точки лежащие на оси абсцисс)
Ответ: 105 точек с целыми координатами.