3) (2x² +5x -3) /(x-1) = ((2x² -2x) +(7x -7)+4 ) /(x-1) = (2x(x-1) +7(x-1) +4) /(x-1) =
2x(x-1)/(x-1) +7(x-1)/(x-1) +4/(x-1) =2x +7 +4/(x-1).
или по схеме Горнера :
------------------
//////| 2 | 5 | -3 |
-----| ---|----|----|
.=1 |2 | 7 | 4 |
-----------------
4) (n² +3n -2) /(n+2) ∈Z .
-------------
n - ?
(n² +3n -2) /(n+2) =(n² +2n +n+2 -4)/(n+2) = (n(n+2) +(n+2) -4)/(n+2) =
n +1 - 4/(n+2). (n +1)∈ Z (даже ∈N ) ;необходимо чтобы 4/(n+2) тоже было целое .(n+2) _должны быть делителями числа 4 но т.к. n натуральное число то только при n =2.
ответ: 2.
------------------
//////| 1 | 3 | -2 |
-----| ---|----|----|
.-2 |1 | 1 | -4 |
-----------------
5) 3/(x² +x -6) = a/(x+3) +b(x-2) .
-----------------
a --? ; b-- ?
3/(x² +x -6) = a/(x+3) +b(x-2) ; * * * x² +x -6 =(x-x₁)(x -x₂) =(x+3)(x-2) * * *
3/(x² +x -6) = ( a(x-2) +b(x+3)) (x² +x -6) ;
3/(x² +x -6) = ( (a+b)x -2a +3b) ) x² +x -6)
3 ≡ (a+b)x -2a +3b ;* * * равенство многочленов * * *
{ a+b =0 ; -2a +3b =3 .⇔{b= -a ; -2a -3a =3.⇒ a = -3/5 ; b =-a =-(-3/5) =3/5.
или проще (для данного примера)
3/(x² +x -6) = 3/(x-2)(x+3) = (3/5)* ( -(x-2)+(x+3))/(x-2)(x+3) =
(3/5) *(- (x-2)/(x-2)(x+3) +(x+3)/(x-2)(x+3) ) =(3/5) *( -1/(x+3) +1/(x-2) ) =
= (-3/5)/(x+3) + (3/5)/(x-2).
a = - 3/5 ; b =3/5.
ответ: a = - 3/5 ; b =3/5..
P.S --------------
3 ≡ (a+b)x -2a + 3b ; означает при любого x они должны принимать равные значения поэтому :
x = - 3 ⇒3 = -5a ; x=2⇒3 = 5b || a =-5/3 ; b=5/3 ||
УДАЧИ !