Боковые стороны АВ и DC трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39,а основание ВС равно...

Question

Боковые стороны АВ и DC трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39,а основание ВС равно 12. Биссектриса угла АDC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Делается дополнительное построение, как на чертеже.
∠CFD = ∠ADF = ∠CDF (DE - биссектриса ∠ADC); поэтому ΔCFD - равнобедренный, CF = CD;
Далее, поскольку CF II AD и AE = BE; то DE = FE (миллион объяснений, от теоремы Фалеса до равенства треугольников EBF и AED)
Поэтому в равнобедренном ΔCFD CE - медиана к основанию.
То есть CE перпендикулярно DE,
В прямоугольном ΔCED EM - медиана к гипотенузе, то есть EM = CD/2 = 39/2;
Но EM - средняя линия трапеции ABCD; EM = (BC + AD)/2;
(Уже после опубликования решения автор мне заметила, что ΔEMD равнобедренный по той же самой причине, что и ΔFCD, поскольку средняя линия EM II AD, поэтому сразу можно было бы написать EM = MD = CD/2)
Отсюда AD = CD - BC = 27;
Теперь надо провести CK II AB; в ΔCKD CD = 39; CK = AB = 36; KD = AD - BC = 15; то есть получился Пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2)
Это означает просто, что трапеция ABCD - прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции.
Отсюда площадь трапеции EM*AB = 36*39/2 = 702

---

Comments

Я сразу изобразил на чертеже ABCD как прямоугольную трапецию, но по ходу решения не пользовался этим, пока не доказал. На самом деле можно было бы подобрать и другие численные данные. В общем случае следовало бы найти площадь ΔCKD по трем сторонам, то есть по формуле Герона, и отсюда найти высоту трапеции. При заданных значениях все нашлось само по себе, потому что ΔCKD оказался прямоугольным.

---

какие дополнительные построения надо сделать?

---

все написано и нарисовано

---

огромное спасибо, слегка затупила ,но найти длину ЕМ можно было проще , из треугольника ЕМД, т.е, не продолжать биссектрису ДЕ до пересечения с основанием ВС, но всё равно огромное спасибо!!!!!!!

---

В смысле EMD тоже равнобедренный треугольник, по той же самой причине, что и CFD? ну можно и так. Хорошее замечание. За три года я тут не часто получал такие :))) Я был слегка перенацелен на то, что площадь CFD равна площади трапеции. Это оказался ложный след, но мне некогда было переделывать чертеж и перенабирать решение. Да и "зерно" тут не в перпендикулярности CE и AE. Я вообще набираю решения "с листа" и редко рисую чертежи.

---

CE и DE, опечатка. Я сейчас впишу это в решение - кому-то пригодится :)