Наиболее полная схема исследования функции:
1. Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция
принимает какое либо значение.
2. Определяются области непрерывности и точки разрыва.
При этом обычно области непрерывности совпадают с областью определения функции,
необходимо исследовать левые и правые приделы изолированных точек.
3. Проверяется наличие вертикальных асимптот. Если
функция имеет разрывы, то необходимо исследовать концы соответствующих
промежутков.
4. Четность и нечетность функции проверяется по
определению. Функция
y = f(x) называется четной, если для любого x из
области определения верно равенство f(-x) = f(x).
5. Функция проверяется на периодичность. Для этого x
меняется на x + T и ищется наименьшее положительное числоT. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период
функции.
6. Функция проверяется на монотонность, находятся
точки экстремума. При этом производную функции приравнивают к нулю, найденные
при этом точки, выставляют на числовой прямой и добавляют к ним точки, в
которых производная не определена. Знаки производной на получившихся
промежутках определяют области монотонности, а точки перехода между разными
областями являются экстремумами функции.
7. Исследуется выпуклость функции, находятся точки
перегиба. Исследование производится аналогично исследованию на монотонность, но
при этом рассматривается вторая производная.
8. Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при
этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.
9. Определяются пределы на концах области определения.
10. Строится график функции.
11. По графику определяется область значений функции и ограниченность функции.
Примерно по такой схеме в приложении даётся анализ функции кроме исследования на периодичность, которая по виду функции явно не периодическая.