1. Подъезжают они к избе, спрашивают: "Где тут разыскать хозяйственную часть?"
В этом предложении будут две запятых (Подъезжают они к избе, спрашивают, где тут разыскать хозяйственную часть) или прямая речь (Подъезжают они к избе, спрашивают" Где тут разыскать хозяйственную часть?")
2. На охоту с ружьем я не смел уже и попроситься, хотя думал, что почему бы мне с Оланей не поохотиться.
В первом предложении прямая речь.
Во втором предложении прямой речи нет, потому что стоит предлог "что"