Отрезок соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равен...

Question

Отрезок соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равен полусумме двух других его сторон. Докажите что эти последние противоположные стороны параллельны

Answer 1

Это проще всего делать с помощью векторов. Пусть четырехугольник ABCD, и отрезок MN соединяет середины AB (точка M) и CD (точка N)
Тогда
MN = -AB/2 + AD - CD/2;
MN = AB/2 + BC + CD/2;
Если это сложить, получится
MN = (AD + BC)/2;
Разумеется, векторы AD и BC должны быть коллинеарны (параллельны), если выполнено такое же соотношение для длин векторов (то есть длина суммы векторов равна сумме длин векторов, если вектора параллельны).

Comments

Можно так:: если О - середина диагонали, то ОN и OM - средние линии и равны AD/2 и BC/2, значит MON - не треугольник а отрезок, т.е. O лежит на МN, а отсюда AD || MN || BC.

---

использовано неравенство треугольника. хорошее решение :)