Решите уравнение cosx+sinx=cos^2x+sin^x

По основному тригонометрическому тождеству: cos^2 x+ sin^2 x=1
Тогда cos x + sin x = 1
C помощью формул универсальной тригонометрической подстановки:
$sin x = \frac{2 tg \frac{x}{2} }{1+tg^{2} \frac{x}{2} } \\ cos x = \frac{1- tg ^{2} \frac{x}{2} }{1+tg^{2} \frac{x}{2} }$
ОДЗ: $cos \frac{x}{2} \neq 0,x \neq 2 \pi n$
Подставим, приведем к общему знаменателю, избавимся от него, получим:

$2 tg \frac{x}{2} +1-tg ^{2} \frac{x}{2} =1+tg ^{2} \frac{x}{2} \\ 2 tg \frac{x}{2}-2tg ^{2} \frac{x}{2}=0 \\ tg \frac{x}{2}-tg ^{2} \frac{x}{2}=0 \\ tg \frac{x}{2}(1-tg \frac{x}{2})=0$

$tg \frac{x}{2}=0, tg \frac{x}{2}=1 \\ \left \{ {{ \frac{x}{2} = \pi n} \atop { \frac{x}{2} = \frac{ \pi }{4}+ \pi k }} \right. \\ \left \{ {{x=2 \pi n} \atop {x=\frac{ \pi }{2}+ \pi k }} \right.$