Коттеджик одна и вторая бригада строителей в 12 месяцах две и третья бригада в 10 месяцах...

Производительность первой бригады x, второй y, третьей z.

Учитавыя условия задачи, составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} \left(\frac1x+\frac1y\right)12=1\\ \left(\frac1y+\frac1z\right)10=1\\ \left(\frac1x+\frac1z\right)15=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac1x=\frac1{12}-\frac1y\\ \frac1z=\frac1{10}-\frac1y\\ \left(\frac1{12}-\frac1y+\frac1{10}-\frac1y\right)15=1 \end{cases}\\ \left(\frac1{12}-\frac1y+\frac1{10}-\frac1y\right)15=1\\ \left(\frac{11}{60}-\frac2y\right)15=1\\ \frac{11}4-\frac{30}y=1\\ \frac{30}y=\frac{11}4-1=\frac74\\ \frac1y=\frac{7}{120}$

$\begin{cases} x=\frac{3}{120}\\ z=\frac5{120}\\ \frac1y=\frac{7}{120} \end{cases}$

Тогда работая вместе они построят коттедж за

$\frac1{\frac3{120}+\frac7{120}+\frac5{120}}=1:\frac{15}{120}=\frac{120}{15}=8$ дней.