2cos2x+4sqrt3cosx-7=0

$2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0\\ 4\cos^2x+4\sqrt{3}\cos x-9=0$
Произведем замену переменных
Пусть $\cos x=t\,\,\, (|t| \leq 1)$
$4t^2+4 \sqrt{3} t-9=0$
$D=b^2-4ac=(4\sqrt{3})^2-4\cdot 4\cdot (-9)=16\cdot 3+16\cdot 9\\ \sqrt{D} = \sqrt{16(3+9)} =4 \sqrt{12} =8 \sqrt{3}$
$t_1= \frac{-b + \sqrt{D} }{2a} = \frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{3}}{8}= \frac{\sqrt{3}}{2}$
$t_2= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-4\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{8}=- \frac{3\sqrt{3}}{2}-\,\,\,\,\notin \,\,[-1;1]$

Возращаемся к замене
$\cos x= \frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=\pm\arccos( \frac{\sqrt{3}}{2} )+2 \pi n,n \in Z\\ x=\pm \frac{\pi}{6}+2 \pi n,n \in Z$