2∛x = x-4
Для избавления от корня обе части уравнения надо возвести в куб.
8х = х³-12х²+48х-64.
Получаем кубическое уравнение:
х³-12х²+40х-64 = 0.
Вычисляем корни кубического уравнения по формуле Кардано.
. Делая подстановку: х = у - (b/3a) = y + 4.
Приводим уравнение к более простому (каноническому) виду:
y³ + p∙y + q = 0, где
p = -(b²/3a²) + (c/a) = -8
q = (2b³/27a³)-(bc/3a²) + (d/a) = -32,
таким образом, теперь нам нужно решить уравнение:
y3 − 8∙y − 32 = 0
2. Рассмотрим величину Q: (p/3)³ + (q/2)² =
237,037037037037
Число вещественных корней уравнения зависит от знака Q:
Поскольку Q > 0, уравнение имеет один вещественный корень и два комплексно-сопряженных.
3. Рассмотрим вспомогательные величины α и β:
α = ∛(-(q/2) + √Q) =3.15470053837925,
β = ∛(-(q/2) - √Q) = 0.845299461620749,
Корень третьей степени из любого числа имеет ровно три значения, однако нам, нужно подобрать такие значения α и β, чтобы выполнялось тождество:
3∙α∙β + p ≡ 0
В нашем случае это тождество выполняется:
3∙α∙β + p = 3 ∙ 3.15470053837925 ∙ 0.845299461620749 − 8 = 0
4. Корни канонического уравнения равны:
y1 = α + β = 4
y2 = (-(α + β)/2) + (i(α - β)/2)√3 = −2 + i ∙ 2
y3 = (-(α + β)/2) - (i(α - β)/2)√3 = −2 − i ∙ 25.
Находим корни исходного уравнения:
x1 = y1 + 4 = 8
x2 = y2 + 4 = 2 + i ∙ 2
x3 = y3 + 4 = 2 − i ∙ 2
Ответ:
Корни кубического уравнения 1 ∙ x3 − 12 ∙ x2 + 40 ∙ x − 64 = 0 равны:
x1 = 8
x2 = 2 + i ∙ 2
x3 = 2 − i ∙ 2