Найдите все значения x больше1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел A=log₂x +...

Question

Найдите все значения x больше1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел A=log₂x + 21 logx 32 (x снизу) -2 и B=41- log₂² x больше 5

Answer 1

A = log_2 (x) + 21*log_x (32) - 2 = log_2 (x) + 21*log_x (2^5) - 2 =
= log_2 (x) + 105*log_x (2) - 2 = log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2
B = 41 - (log_2 (x))^2 = 41 - log_2 (x)*log_2 (x)
1) Пусть A > B.
log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2 > 41 - log_2 (x)*log_2 (x) 
Замена  log_2 (x) = y
Если x > 1, то y = log_2 (x) > 0
y + 105/y - 2 > 41 - y^2
y^2 + y - 43 + 105/y > 0
При умножении на y > 0 знак неравенства не меняется.
y^3 + y^2 - 43y + 105 > 0
F(0) = 105 > 0
Точка минимума
3y^2 + 2y - 43 = 0
D/4 = 1 + 3*43 = 130
y = (-1 + √130)/3 ~ 3,467; F(y) = 9,61 > 0
Значит, при y > 0 это верно для всех x > 1
Нам надо найти, при каких х будет A > 5
log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2 > 5
Замена  log_2 (x) = y 
y + 105 / y - 7 > 0
y^2 - 7y + 105 > 0
D = 7^2 - 4*105 < 0
Это тоже верно при любом y.

2) Пусть B > A
log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2 < 41 - log_2 (x)*log_2 (x) 
Решая аналогично, получаем
y^3 + y^2 - 43y + 105 < 0
При y > 0 это неравенство решений не имеет.

Ответ: при любом x > 1

Comments

А почему вы решили что здесь ошибка?

---

Полной уверенности в том, что в задании ошибка, конечно, нет, потому и спрашиваю откуда задание!

---

Рассуждаю так:
Пробуем решить. Решение, предложенное Mefody66 правильное. Но можно немного проще. Определяем, при каких x число А > 5. После очевидных преобразований приходим к неравенству: y^2 -7y + 105 > 0 . Это неравенство по силам всякому восьмикласснику. Решаем и сразу получаем ответ, тот же, что и у Mefody66.

---

Поскольку число А > 5 при любых x > 1, то рассматривать число В вообще не нужно!

---

А теперь сомнения:
Первое. Зачем авторы задачи ввели число В? И подобрали ведь, так, чтобы неравенство B > 5 изящно решалось в целых числах. Хотели запутать доверчивых учеников? Едва ли, хитрость никого не обманет! Идея у авторов задачи была какая-то другая.

---

Второе. Буквальный ответ на вопрос подразумевает исключение из результата тех точек, в которых числа А и В равны. А вот здесь авторы задачи рисуются не хитрецами-любителями, а опытными провокаторами, эмиссарами мировой буржуазии, и никак не меньше! Но мы не поддадимся и докопаемся-таки до истины. Раскопки же приведут нас к уравнению третьей степени (у Mefody66 оно есть в виде неравенства).

---

Решение подобных уравнений находится за пределами школьной программы (если мне не изменяет память, то студенты инженеры их тоже не изучают, только мехматики). Впрочем, нащупать решение можно. Mefody66 сделал это с помощью исследования функции на экстремумы. Есть другой путь: (y + 8)(y^2 – 7 + 13) + 1 = 0, отсюда: (y + 8)(y^2 – 7 + 13) < 0, но y^2 – 7 + 13 всегда > 0, значит (y + 8) < 0, следовательно у < -8, т.е. за пределами интересующих нас значений.

---

Давать ученикам задание, в котором корни уравнения нужно не найти, а оценить не следует! Математика учит мыслить строго, оценки и догадки лучше оставить литераторам и историкам. Уверен, что сколь-нибудь опытный педагог такого задания своим ученикам не предложил бы.

---

Третье. Можно допустить, что задание олимпиадное. Олимпиадные задачи заставляют изрядно подумать, но правильное их решение обычно изящно и компактно. Надо ли пояснять, что найденное решение нельзя назвать ни кратким, ни красивым.

---

Отсюда и вывод – в задании ошибка!