Помогите пожалуйста решить буквы Ж; Г; Е

Question

Дан 1 ответ

M0RDOK_zn · Answer 1 · 2018-04-05T06:54:57+0000

Г).
Работаем над первым уравнением:
$4(\frac{x-y}{x+y})+3(\frac{x+y}{x-y})=13\\ \frac{4(x-y)^2+3(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=13\\ 4(x-y)^2+3(x+y)^2=13(x^2-y^2)\ :\ x\neq\pm y\\ 20y^2=6x^2+2xy$
Получили однородное уравнение, переводим в квадратное и находим связь $x\~ y$
$6x^2+2xy-20y^2=0\ |\cdot\frac{1}{y^2}\\ 6(\frac{x}{y})^2+2(\frac{x}{y})-20=0\\ \frac{x}{y}=:t\\ 6t^2+2t-20=0\\ t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+120}}{6}\\ t_1=\frac{5}{3},\ t_2=-2\ \Rightarrow\frac{x}{y}\in\{\frac{5}{3},-2\}$
Тут мы делили на $y^2$ , следовательно - исключили возможность $y=0$ . Этот случай нужно будет проверить отдельно.

Получили две связи:
$3x=5y,\ x=-2y$
Добавляем к каждой второе уравнение и получаем две простые системы уравнений:
$\left \{ {{3x=5y} \atop {x^2-y^2=12}} \right. \\ \left \{ {{x=-2y} \atop {x^2-y^2=12}} \right.$
которые решить уже не проблема.

Теперь проверяем частный случай $y=0$ :
$4\frac{x-0}{x+0}+3\frac{x+0}{x-0}=13\\ 4+3=13\\ \emptyset$
Равенство не выполняется, значит $y=0$ не является решением системы.

е).
Решаем подстановкой:
$\left \{ {{x^2+y^2=25}} \atop {xy-(x+y)=5}} \right. \\ \left \{ {{x^2+2xy+y^2=25+2xy}} \atop {xy-(x+y)=5}} \right. \\ \left \{ {{(x+y)^2=25+2xy} \atop {xy-(x+y)=5}} \right. \\ a:=x+y,\ b:=xy\\ \left \{ {{a^2=25+2b} \atop {b-a=5}} \right.$
Решаем простую систему:
$\left \{ {{a^2=25+2b} \atop {b-a=5}} \right. \\ a^2=25+2(5+a)\\ a^2-2a-15=0\\ (a-5)(a+3)=0\\ a\in\{-3,5\}\\ a=-3\ \Rightarrow \ b=2\\ a=5\ \Rightarrow\ b=10$
Получили две простые системы:
$a=-3\ \Rightarrow \ b=2\\ a=5\ \Rightarrow\ b=10\\ \left \{ {{x+y=-3} \atop {xy=2}} \right. \ ,\ \left \{ {{x+y=5} \atop {xy=10}} \right.$
Осталось только найти $x,y$ , что нетрудно сделать.

ж).
Тот же принцип, что и в е).
Приводим к нужному виду второе уравнение:
$x^2+y^2=4xy\\ x^2+2xy+y^2=6xy$
Назначаем новые переменные:
$a:=x+y, b:=xy$
Подставляем в систему и получаем:
$\left \{ {{a=b} \atop {a^2=6b}} \right. \\ a^2-6a=0\\ a(a-6)=0\\ a\in\{0,6\}\\ a=0\ \Rightarrow b=0\\ a=6\ \Rightarrow\ b=6$
Получили две системы:
Oдна из них - тривиальна $(x=0,y=0)$
Вторая - $\left \{ {{x+y=6} \atop {xy=6}} \right.$
Осталось только посчитать ответы.