Найти единичный вектор,перпендикулярный векторам а=(1,1,2) и b=(2,1,1)

Вектора заданы компонентами в ортонормированном базисе.

Чтобы найти вектор, ортогональный и к $\textbf{a}$ , и к $\textbf{b}$ , найдём векторное произведение $\textbf{a} \times \textbf{b}$ :

$\textbf{c} = \textbf{a} \times \textbf{b} = det \left(\begin{array}{ccc}\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right) = -\textbf{i} +3 \textbf{j} -\textbf{k}$

Норма полученного вектора:

$\sqrt{\textbf{c} \cdot \textbf{c}} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{11}$

Следовательно, ортогональными к векторам $\textbf{a}$ и $\textbf{b}$ будут следующие единичные векторы:

$\textbf{c}_{1+} = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{11}} \\ \frac{3}{\sqrt{11}} \\ -\frac{1}{\sqrt{11}}\end{array}\right)$

$\textbf{c}_{1-} = \left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{11}} \\ -\frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}}\end{array}\right)$