Упр 311 с полным решением

Воспользуемся теоремой Безу:
Теорема: Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x-a) равен P(a) .

P(x)=(x+4)M₁(x)+5, где R(-4)=5 - остаток от деления
P(x)=(x-5)M₂(x)+14, где R(5)=14 - остаток от деления
P(x)=(x+4)(x-5)M₃(x)+R(x), нужно найти R(x).

R(x) - многочлен первой степени, т.е. R(x)=kx+b, тогда:
P(x)=(x+4)(x-5)M₃(x)+(kx+b)
P(-4)=-4k+b=R(-4)=5
P(5)=5k+b=R(5)=14

Решим систему:

$\left \{ {{-4k+b=5} \atop {5k+b=14}} \right.$

$\left \{ {{b=5+4k} \atop {b=14-5k}} \right.$

$5+4k=14-5k$
$9k=14-5=9$

$\left \{ {{b=5+4=9} \atop {k=1}} \right.$

Получаем, что R(x)=kx+b=x+9

Ответ: R(x)=х+9