Правильно ли записано предложение? Elaine is Clare`s and Jay`s mum.

Elaine is Clares and Jays mum. Без апострофов пиши :)
Почему без апострофов? Апострофы нужны чтобы сокращать слово: "Elanie's" это тоже самое что "Elanie is". А "Elanies" это что то типа спряжения имени.