Решения, а «идея» | это
путь к решению.
Как работать с книгой
Осваивать идеи и методы решения задач можно двумя
способами: 1) сначала прочитать описание идеи, потом ра-
зобрать примеры, потом порешать задачи на эту тему, или
2) сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже
потом прочитать комментарии и разобрать примеры.
Решать задачи мы советуем не все подряд, а выбирая
те, которые вам интересны.
Если какая-то задача особенно понравилась, то, решив
её, не переходите сразу к следующей, а подумайте еще над
этой. Попробуйте понять:
• какие идеи привели к решению, чем эта задача похожа
или не похожа на другие задачи;
• где в решении использованы те или иные данные, пе-
рестанет ли утверждение быть верным, если какое-то
условие убрать или ослабить;
• можно ли данные и ответ поменять местами, т. е. верно
ли обратное утверждение;
• можно ли обобщить задачу или вывести интересные
следствия.
Не стремитесь решать много задач. Если вы решите
за день одну{две задачи и хорошо всё продумаете, то это
будет лучше чем решить десять задач поверхностно. Важно
не количество решенных задач, а то новое, что удалось
понять.
Если у вас после решения хорошей задачи поднимается
настроение | это признак успешной работы.
Часть I
Идеи и методы решения
задач
Поиск родственных задач
Если задача трудна, то попытайтесь найти и решить
более простую «родственную» задачу. Это часто даёт ключ
к решению исходной. Помогают следующие соображения:
• рассмотреть частный (более простой) случай, а затем
обобщить идею решения;
• разбить задачу на подзадачи (например, необходимость
и достаточность);
• обобщить задачу (например, заменить конкретное число
переменной);
• свести задачу к более простой (см. тему «Причёсывание
задач»).
Пример 1. В угловой клетке таблицы 5×5 стоит плюс,
а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой
строке или любом столбце поменять все знаки на противо-
положные. Можно ли за несколько таких операций сделать
все знаки плюсами?
Решение. Возьмём квадрат поменьше, размера 2 × 2, в
котором стоят один плюс и три минуса. Можно ли сделать
все знаки плюсами? Несложный перебор показывает, что
нельзя.
Поиск родственных задач 7
Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате
5×5 квадратик 2×2, содержащий один плюс. Про него уже
известно, что сделать все знаки плюсами нельзя. Значит, в
квадрате 5 × 5 и подавно.
Пример 2. Постройте общую внешнюю касательную к
двум окружностям.
Решение. Если одна из окружностей будет точкой, то
задача станет легче (вспомните, как из точки провести
касательную).
Пусть ❖1 и r1 | центр и радиус меньшей окружности,
❖2 и r2 | центр и радиус большей окружности. Рассмо-
трим прямую, проходящую через ❖1 и параллельную общей
касательной. (рис. 1). Эта прямая удалена от ❖2 на рассто-
яние r2 − r1, значит, является касательной к окружности с
центром ❖2 и радиусом r2 − r1. Построим эту окружность.
Из точки ❖1 проведём касательную к ней. Пусть ❈ | точка
касания. На прямой ❖2❈ лежит искомая точка касания.
O2 O1
r1
r2
r2−r1
Рис. 1
Задачи
I 1. Легко распилить кубик 3 × 3 × 3 на 27 кубиков шестью
распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если раз-
решается перекладывать части перед тем каое число в них полусум-
мой этих чисел. Какое наименьшее число можно получить
в первой ячейке?
Решение. Нетрудно получить число 1
2
8 , усредняя число
в первой ячейке со всеми остальными по очереди. Труднее
доказать, что меньше получить нельзя.