Доказать, что выражение x в квадрате +8x+18 принемает положительное значение при любом...

Рассматривается выражение $y = x^2 + 8x + 18$

Докажем, что y положительно при любом значении x. Допустим, что это не так. Найдём такие x, при которых y ≤ 0. Для этого решим неравенство:

$x^2 + 8x + 18 \leq 0 \Leftrightarrow x^2 + 8x + 16 + 2 \leq 0 \Leftrightarrow \left(x + 4\right)^2 + 2 \leq 0$

Или

$\left(x + 4\right)^2 \leq -2$

Что не имеет решений, так как $\left(x + 4\right)^2 \geq 0 \;\; \forall x$

Мы пришли к противоречию. Следовательно, $y = x^2 + 8x + 18$ принимает положительное значение при любых x.

Для нахождения наименьшего значения найдём $\frac{dy}{dx}$ :

$\frac{dy}{dx} = 2x + 8$

Приравняв его 0, найдём точку экстремума:

$2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4$

Убедимся, что найденная точка — действительно минимум.

$\frac{dy}{dx}|_{x=-5} = -10 + 8 = -2 < 0$

0" alt="\frac{dy}{dx}|_{x=-3} = -6 + 8 = 2 > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Итак, первая производная меняет в точке $x = -4$ знак с "-" на "+", следовательно, в этой точке мы действительно имеем минимум.

Значение y при x = -4:

$y|_{x=-4} = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 18 = 2$