ПОМОГИТЕ С ПРЕДЕЛАМИ,ПОЖАЛУЙСТА! 1) 2) 3) 4)

Question

Дано ответов: 2

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-04-05T10:24:11+0000

1.
$\lim\limits_{x \to -1} \frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =\lim\limits_{x \to -1} \frac{ (x-2)(x+1)}{ (x +1)(x^2-x+1)} =\lim\limits_{x \to -1} \frac{ x-2}{ x^2-x+1} =\frac{ -1-2}{ (-1)^2-(-1)+1}=-1$
Так как изначально возникает неопределенность [0/0], то необходимо сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя (х+1)

2.
$\lim\limits_{x \to \pi +0} \frac{ \sqrt{1-\cos x} }{ \sin x} =\frac{ \sqrt{1-\cos (\pi+0) } }{ \sin (\pi+0) } =\frac{ \sqrt{1-(-1) } }{ -0} =\frac{ \sqrt{2} }{ -0} =-\infty$
Так как предел находится при приближении к числу π справа, то синус прежде чем принять значение 0 в точке π будет отрицательным и находиться в третьей четверти

3.
$\lim\limits_{x \to \infty}( \frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ \frac{1}{x} }} )= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{5x^2}{1- x^{2} } - \lim\limits_{x \to \infty} 2^{ \frac{1}{x} }} = \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{ \frac{5x^2}{x^2} }{ \frac{1}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} } -2^{ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} }} = \\\ =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 5 }{ \frac{1}{x^2} - 1 } -2^0 =\frac{ 5 }{ - 1 } -1 =-5-1=-6$
Предел разности равен разности пределов, чтобы избавиться от неопределенности [∞/∞] необходимо числитель и знаменатель разделить на старшую степень, в данном случае х²

4.
1 способ
$\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ 49-x^2} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (7-x)(7+x)} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (4-(x-3))(x+7)} = -\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ (2- \sqrt{x-3})(2+ \sqrt{x-3}) (x+7)} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{1 }{ (2+ \sqrt{x-3}) (x+7)} = - \frac{1 }{ (2+ \sqrt{7-3}) \cdot(7+7)} = - \frac{1 }{ 4 \cdot14} =- \frac{1}{56}$

2 способ
$\lim\limits_{x \to 7} \frac{2- \sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = \lim\limits_{x \to 7} \frac{(2- \sqrt{x-3})' }{( x^{2} -49)'} = \lim\limits_{x \to 7} \frac{0- \frac{1}{2\sqrt{x-3}} }{2x} = \\\ =-\lim\limits_{x \to 7} \frac{1 }{4x\sqrt{x-3}} =-\frac{1 }{4\cdot7\sqrt{7-3}} =- \frac{1}{56}$
Правило Лопиталя: предел отношения двух функция равен пределу отношения производных этих функций