В арифметической прогрессии сумма второго,третьего и шестого члена равна 53, а сумма...

получается система

$a_{1}$ + $a_{10}=50$

a_ $a_{2}+a_{3}+a_{6}=53$

арифметическай прогресия $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

значит

$\begin{cases} 2a_{1}+9d=50\\3a_{1}+8d=53 \end{cases}$

складываем получаем $a_{1}-d=3$

d= $a_{1}$ -3

подставляем в первое уравнение получаем

11 $a_{1}$ =77

a1=7 значит d=4

теперь из 2003 вычитаем а1 получаем 2003-7=1996

1996\d=1996\4=499

значит 2003 500сотый член прогрессии.

Ответ:500