Известно, что f(2015)≠0, а также, что для любых x и y f(x)⋅f(y)=f(x−y). Найдите возможные значения f(100500).
Поиграем с соотношением f(x) * f(y) = f(x - y). 1) Подставим x = 2015, y = 0. - делим на f(2015) ≠ 0, получаем f(0) = 1 2) Подставляем y = x: 3) f(x) - четная функция: f(x - y) = f(x)f(y) = f(y)f(x) = f(y - x) Следовательно, функция удовлетворяет равенству f(x + y) = f(x)f(y) Все значения выражаются через f(1): f(2) = f(1 + 1) = f(1) * f(1) = f(1)^2 f(3) = f(2 + 1) = f(1)^2 * f(1) = f(1)^3 ... f(n) = f(1)^n f(100500) = (f(1)^2)^50250 = 1^50250 = 1
Непонятно, зачем нужен пункт 3)? Ведь, если f(x)^2=1, для любого x, то f(x)=+-1. Очевидно, что -1 не подходит, значит остается f(x)=1.
Здесь он для того, чтобы получить, что f(n) = f(1)^n.
Можете подсказать, почему очевидно, что -1 не подойдет?
подставляем в исходное выражение, получается -1*(-1)=-1.
Это доказывает, что f(x) не может быть равно -1 тождественно. Но "вдруг" в каких-то точках f(x) равно 1, а в других -1?
Да, согласен
спасибо!
Пункт 3) можно короче. Достаточно написать f(x)*f(x/2)=f(x/2). Т.к. доказали, что f(x/2)≠0, то на него можно сократить, получится f(x)≡1.
Да, так красивей выглядит.