Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса R летает спутник со скоростью υ1 = 20...

Question

Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса R летает спутник со скоростью υ1 = 20 км/с. Если бы масса планеты была в четыре раза меньше, то тот же спутник двигался бы по орбите того же радиуса R, но со скоростью υ2, равной

Answer 1

Если коротко: 10 м/с потому, что a=v^2/R. 

А теперь более подробно. Скорость спутника v на круговой орбите жестко связано с его центростремительным ускорением a по формуле 

a = v^2 / R, 

где R - радиус орбиты. Центростремительное ускорение создается гравитационной силой F, с которой планета притягивает спутник: 

F = ma, 

где m - масса спутника. Отсюда 

F = mv^2 / R, 

или 

v = sqrt(FR/m), 

где sqrt обозначает квадратный корень. Далее, сила F равна gmM/R^2, где М - масса планеты. Если М уменьшится в 4 раза, то и F тоже уменьшится в 4 раза. При этом, как видно из формулы для v, скорость уменьшится в ДВА раза (из-за квадратного корня). Вот так из 20 м/с и получается 10 м/с.