Какую наименьшую площадь может иметь 12-угольник, все вершины которого лежат в узлах...

Скорее всего, речь идет о правильном 12-угольнике.
Для любого правильного n-угольника площадь $S=\dfrac{na^2}{4tg\frac{180^o}{n}}$ .
Для правильного 12-угольника n=12.
Очевидно, что наименьшая площадь достигается при длине стороны а=1 (два соседних узла решетки).
Вычисляем:
$S=\dfrac{12*1^2}{4tg\frac{180^o}{12}}=S=\dfrac{12}{4tg15^o}=\dfrac{3}{tg15^o}=3ctg15^o= 3ctg(45^o-30^o)= \\ \\ =3*\dfrac{ctg45^octg30^o+1}{ctg30^o-ctg45^o}=3*\dfrac{ \sqrt{3} +1}{\sqrt3-1}= \dfrac{3( \sqrt{3}+1)^2 }{2}=\dfrac{3(4+2 \sqrt{3}) }{2}= \\ =6+3 \sqrt{3}$