Есть куча из 1001 камня. Одним ходом из какой-нибудь кучи, где лежит больше одного камня,...

Question

Есть куча из 1001 камня. Одним ходом из какой-нибудь кучи, где лежит больше одного камня, выкидывают один из них, а затем любую кучу делят на две меньшие. Какие ситуации можно получить? (Возможные ответы:1)в каждой куче только 1 камень;2)в каждой куче только 3 камня;3) в каждой куче 4 камня; 4) .в каждой куче 5 камней; 5) в каждой куче 10 камней 6) в каждой куче 500 камней; 7)в каждой куче 600 камней.

Answer 1

6) В каждой куче 500 камней - мы получаем на первом же шаге.
Из кучи 1001 выкидываем 1, а оставшуюся 1000 делим пополам.
1) В каждой куче по 1 камню - наверное, можно получить.
Когда-то остается куча с 2 камнями, делим ее на две кучи по 1 камню.
На этом обе эти кучи выбывают из игры, переходим к другим кучам.
7) В каждой куче 600 камней - получить никак нельзя.
Остальные варианты под сомнением. Думаю, что 2) и 3) получить нельзя,
но доказательств нет. Насчет 4) и 5) не уверен, может и можно.

Comments

Заметим, что величина i, равная сумме количества камней и количества кучек остаётся неизменной. Поэтому сразу отпадают варианты, когда во всех кучках по 3, 4, 10 или 600 камней: в этих случаях i делится на 4, 5, 11 или 601 соответственно, а вначале i=1002. Остальные случаи возможны, например, можно откладывать из большой кучки по одной кучке требуемого размера.

---

Верные 1), 3), и 6)!!!

---

Может, вы и правы, я глубоко не анализировал.