В обоих жанрах присутствует трагическая смерть или убийство героев.
Но
Драма - жанр,в котором исследуется философская или социально-бытовая проблематика.Трагедия - неразрешимый конфликт героя-идеолога с обществом приводит его к смерти. В "Грозе" мы видем Катерину,которая трагически погибает. Но она не пытается донести свою идеологию до мира( у нее вообще нет идеологии), она пассивно ждет наступления лучшей жизни,ничего для этого не предпринимая.