Центры двух касающихся окружностей совпадают с серединами боковых сторон прямоугольной...

Question

Центры двух касающихся окружностей совпадают с серединами боковых сторон
прямоугольной трапеции. Диаметр каждой окружности равен той стороне , на которой расположен её центр . Найти острый угол трапеции, если известно , что большее основание трапеции в три раза больше меньшего основания.

Answer 1

Введём обозначения:
- верхнее основание трапеции  - х,
- нижнее основание трапеции    - 3x,
- радиус окружности на вертикальной стороне трапеции - r,
- радиус окружности на наклонной стороне трапеции - R,
- угол наклона боковой стороны трапеции - α.
Так как окружности касаются, то средняя линия трапеции равна сумме радиусов окружностей: r + R = (x + 3x) / 2 = 2x.
Тангенс угла наклона боковой стороны трапеции равен tg α = 2r / (3x - x) = 2r / 2x = 2r / (r + R).
Заменим R = r / sin α, а tg α на sin α / cos α = sin α / √.(1 - sin²α).
Получаем уравнение :
.
Решая это уравнение, получаем sin α = 0.6.
α = arc sin 0.6 =  0.643501 радиан = 36.8699 градусов.