Пусть х и у - длины смежных сторон искомого прямоугольника. Обозначим d - его диагональ, p - полупериметр. Тогда x+y=p и x²+y²=d². Т.е. х и у - абсцисса и ордината точки пересечения прямой и окружности, заданных этими уравнениями. Поэтому процесс построения выглядит так:
1) Строим прямой угол с вершиной О (он задает оси декартовой системы координат).
2) Строим окружность с центром в О и радиуса d (ее уравнение x²+y²=d²).
3) На сторонах прямого угла отмечаем точки A и B на расстоянии p от точки О и проводим прямую AB (уравнение этой прямой x+y=p. Заметим также, что ∠OAB=45°). Пусть C - какая-нибудь точка пересечения этой прямой с окружностью.
4) Опускаем перепендикуляр CD на ОА, и перпендикуляр CE на OB. Тогда прямоугольник OECD - искомый.
Действительно, его диагональ OC равна радиусу окружности, т.е.равна d. Его полупериметр равен EC+CD=OD+DA=OA=p, т.к. CD=DA, поскольку ∠OAB=45°.