Составить программу для вычисления корня нелинейного уравнения по методу касательных...

Для метода касательных (он же - метод Ньютона) надо задать начальное приближение и получить выражение для производной функции.
$f(x)=x^2-\cos(x^2)-6; \\ f'(x)=2x+2x\sin(x^2)=2x(1+\sin(x^2))$
Рекуррентная формула в методе Ньютона имеет следующий вид:
$\displaystyle x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
Для нашей конкретной задачи можно записать:
$\displaystyle x_{n+1}=x_n- \frac{x_n^2-\cos{x_n^2}-6}{2x_n(1+\sin{x_n^2})}$
А еще надо задать погрешность решения, которую определим так:
$\displaystyle |f(x_{n+1})|\leq \varepsilon$

function f(x:real):real;
begin
f:=sqr(x)-cos(sqr(x))-6
end;

function fn1(x:real):real;
begin
fn1:=x-(sqr(x)-cos(sqr(x))-6)/(2*x*(1+sin(sqr(x))))
end;

var
xn,xn1,y,eps:real;
begin
Writeln('Введите начальное приближение для корня: ');
Read(xn);
Writeln('Введите значение погрешности для решения: ');
Read(eps);
xn1:=xn; y:=f(xn);
while abs(y)>eps do
begin xn1:=fn1(xn); y:=f(xn1); xn:=xn1 end;
Writeln('x=',xn1,' f(x)=',y)
end.

Тестовое решение:
Введите начальное приближение для корня:
-3
Введите значение погрешности для решения:
0.00001
x=-2.61645602631473 f(x)=1.28691349221555E-06