Решить уравнение X^4+6x^3-21x^2+78x-16=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Решено с помощью одного пользователя на сайте:

$x^4+6x^3-21x^2+78x-16=0$

Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd=\\ x^4+(cx^3+ax^3)+(dx^2+acx^2+bx^2)+(adx+bcx)+bd= \\ x^4+x^3(c+a)+x^2(d+a+b)+x(ad+bc)+bd$
Здесь применяем наше уравнение:

$c+a=6\\ d+ac+b=-21\\ ad+bc=78\\ bd=-16$

Решаем систему:

$\left\{ \begin{aligned} c+a&=6\\ d+ac+b&=-21\\ ad+bc=78\\ bd=-16 \end{aligned} \right.$

Такую систему решаем с помощью подстановки.
Возьмем $bd=-16$
Вариантов такого решения несколько. Вот они:

$\left \{ {{b=-2} \atop {d=8}} \right.; \ \left \{ {{b=2} \atop {d=-8}} \right.; \ \left \{ {{b=4} \atop {d=-4}} \right.;\ \left \{ {{b=-4} \atop {d=4}} \right.; \left \{ {{b=1} \atop {d=-16}} \right.;\ \left \{ {{b=-1} \atop {d=16}} \right..$

Надо найти такую пару, чтобы она удовлетворяла нашему уравнению!
Итак,

$a=6-c\\b=-2\\c=?\\d=8$

Подставляем его в третье уравнение нашей системы:

$ad+bc=78\\ (6-c)\cdot 8+(-2) \cdot c=78\\ 48-8c-2c=78\\-10c=30\\ c=-3$

Значит, мы имеем:

$a=6+3=9\\b=-2\\c=-3\\d=8$

Для проверки подставим все значения во второе уравнение нашей системы:

$8+9\cdot (-3)-2=-21\\ 8-27-2=-21\\ -21=-21$

Значит, мы верно выбрали пару. Остальные пары нам не подходят.
Все значения подставляем в два квадратных уравнения:

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d=0)\\ (x^2+9x-2)(x^2-3x+8)=0$

Решаем каждое уравнение в отдельности:

$x^2+9x-2=0\\ a=1, b=9, c=-2\\ D=b^2-4ac=81+8=89; \ D= \sqrt{89}\\\\ x_{1/2}= \frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a}= \frac{-9\pm \sqrt{89} }{2}\\\\ x_1=\frac{\sqrt{89} }{2}-4 \frac{1}{2} \\\\ x_2=-\frac{\sqrt{89} }{2}-4\frac{1}{2}$

$x^2-3x+8=0\\ D=9-32=-23$

Нет действительных решений.

Ответ: $x_1=\frac{\sqrt{89} }{2}-4 \frac{1}{2}; x_2=-\frac{\sqrt{89} }{2}-4 \frac{1}{2}$

eugeke_zn (29.3k баллов) 05 Апр, 18