Объясните, пожалуйста, почему выделенная часть преобразовалась в ту, которая тоже...

Выпишем числитель интересующей дроби: $a^3+8+4a(a+2)=a^3+8+4a^2+8a=a^3+4a^2+8a+8.$

Произведём разложение многочлена на множители, для этого найдём такое значение аргумента $a$ , которое обращает многочлен в 0: $P(a)=a^3+4a^2+8a+8$
$a=-1,\\P(-1)=-1+4-8+8 \neq 0;\\\\a=-2,\\P(-2)=-8+16-16+8=0$

Произведём деление уголком многочлена на выражение $a+2$ (cм. приложение).

Теперь многочлен можно записать как произведение множителей: $a^3+4a^2+8a+8=(a+2)(a^2+2a+4),$ что и появляется в числителе дроби после проделанного преобразования.