1. Несчастные (без "не" не употреб., проверочное слово: ненастье) звери толпились у дверей доктора Айболита (имя собств).
2. Наступило неловкое (слитно из-за лексич. значения) молчание.
3. Мне не нравится ("не" с глаголами раздельно, без "ь", так как вопрос "что делает?") то, что вы нам предлагаете (окончание 1 спряжения).
4. Кое-что в его поведении ("и", т.к. ср род, п.падеж) становится (без "ь", так как вопрос "что делает?") непонятным (слитно, так как нет зависимых слов и противопоставлений).
5. Мы с ним не враги (раздельно, "невраг" - такого слова нет), хотя часто не согласны (завис слова есть) друг с другом.
6. Если же дует ("Е", т.к. 1 спряжение) нежеланный (слитно, потому что нет отрицаний) борей, начинается дождь (провер: дождичек), появляются волны с гребешками (гребень), то следует причалить к берегу и переждать ненастье (без "не" не употребл)