Найти наименьшее значение функции f(x)=22cos²x-6sin²x+9

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

8-бесконечность.
y=22cos²x-6sin²x+9
1)-6sin² x+22cos²x+9=0 ⇒ действительных решений не найдено персечение с ОХ
2)х=0, f(x)=31 -Пересечение с OY
3)lim(22cos²x-6sin²x+9)-Не существует
x⇒8
lim(22cos²-6sin²x-9)-Не существует
х⇒-8
4)f(x)=-6sin²x+22cos²x+9
f(-x)=-6sin²x+22cos²x+9
Функция Чётная
5)Функция является периодическиой.Период=2π
6)Производная равна:-56cosx sinx
Минимальное значение функции равно 3
Максимальное значение фунции равно 31

Montale_zn (7.3k баллов) 05 Апр, 18

DimaPuchkov_zn · Answer 1 · 2018-04-05T16:42:17+0000

Используем тот факт, что $0 \leq \sin^2 x \leq 1; \ \ \ 0 \leq \cos^2 x \leq 1$

А так же, что при $\sin x =0, \ \ \cos x =1$

Сравним числовые коэффициенты, стоящие перед синусом (-6) и косинусом (22): 22>-6.

Максимальное значение функции $22 \cdot 1^2 - 6 \cdot 0 +9=22 +9=31$

Способ 2.

Также можно преобразовать выражение, используя основное тригонометрическое тождество

$22 \cos^2 x -6 \cdot (1-\cos^2 x)+9=22 \cos^2x + 6 \cos^2 x -6+9=\\ \\ = 28 \cos^2 x +3$

Максимальное значение косинуса равно единице $28 \cdot 1^2 +3 =28+3=31$