Сколько действительных решений имеет уравнение (1+x)^2016(1+ x)^2014)=(2x)^2015

0 голосов
42 просмотров

Сколько действительных решений имеет уравнение (1+x)^2016(1+ x)^2014)=(2x)^2015


Алгебра (15 баллов) | 42 просмотров
0

Скобку лишнюю поставил. Должно быть так: (1+x)^2016*(1 + x^2014) = (2x)^2015

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

(1 + x)^2016 * (1 + x^2014) = (2x)^2015
 При x < 0 слева будет положительное число (сумма четных степеней чисел),
а слева отрицательное (отрицательное число в нечетной степени).
Поэтому при x < 0 корней нет.

При x = 0 получается
(1 + 0)^2016 + 0^2014*(1 + 0)^2016 = (2*0)^2015
1 + 0 = 0
Тоже не подходит.

При 0 < x < 1 слева будет число > 1, а справа число < 1.<br>При  0 < x < 1 корней нет.<br>
При x > 1 число слева будет во много раз больше, чем справа.
Слева будет примерно (1 + x)^2016*x^2014 > x^4030, а справа 2^2015*x^2015
При x > 1 корней нет.

Ответ: действительных корней вообще нет.
Но, так как это уравнение имеет 2016 + 2014 = 4030 степень, то,
согласно основной теореме алгебры, у него ровно 4030 корней.
И все они комплексные.

(320k баллов)
0

Заметим, что x неотрицателен, так как иначе левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна. Применим неравенство Коши к левой части. Окажется, что неравенство превращается в равенство. Это может быть лишь когда x=1.

0

То, что x не может быть отрицательным, я написал в первом же предложении, и именно по такой же причине - слева число положительно, а справа отрицательно. А вот дальше я вашу мысль не понял. Какое неравенство превращается в равенство? Здесь и так равенство изначально.

0

А вот то, что я x = 1 не проверил - это действительно косяк. (1+1)^2016*(1+1^2014)=2^2016*2=2^2017; а справа 2^2015. Так что тоже не подходит.