Условием существования арифметической прогрессии является то, что разность между a(n) и a(n-1) остается неизменной для всех членов прогрессии: a₂-a₁=a₃-a₂=a(n)-a(n-1)=d, d - разность арифм. прогрессии.
4 предложенных последовательности рассмотрим на 1-х 3-х ее членах:
1. Последовательность квадратов натуральных чисел.
a₁=1²; a₂=2²; a₃=3² => 4-1≠9-4 - данная последовательность не является арифметической прогрессией.
2. Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 2 меньше знаменателя.
a₁=1/3; a₂=2/4; a₃=3/5 => (2/4-1/3=1/6; 3/5-2/4=1/10) 1/6≠1/10 - данная последовательность чисел - не арифметическая прогрессия.
3. Последовательность натуральных степеней числа 5.
a₁=5¹; a₂=5²; a₃=5³ => 25-5≠125-25 - это не арифметическая прогрессия.
4. Последовательность натуральных чисел, кратных 5.
Признак делимости на 5 - число должно оканчиваться на 5 или 0.
a₁=5; a₂=10; a₃=15 => 10-5=15-10, d=5 - данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: 4)