24tg^2 x-9sin^2 x=2 Решите уравнение

0 голосов
104 просмотров

24tg^2 x-9sin^2 x=2
Решите уравнение

Алгебра (15 баллов) | 104 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Немного другим способом.
24tg^2 x + 24 - 24 - 9sin^2 x - 2 = 0
24(1 + tg^2 x) - 9(1 - cos^2 x) - 26 = 0
24*1/cos^2 x + 9cos^2 x - 9 - 26 = 0

Замена cos^2 x = y, по определению косинуса 0 <= y <= 1<br>24/y + 9y - 35 = 0
9y^2 - 35y + 24 = 0
D = 35^2 - 4*9*24 = 1225 - 864 = 361 = 19^2
y1 = cos^2 x = (35 - 19)/18 = 16/18 = 8/9
y2 = cos^2 x = (35 + 19)/18 =  54/18 = 3 > 1 - не подходит

cos^2 x = 8/9
1) cos x = -2√2/3; x1 = +- arccos (-2√2/3) + 2pi*k
2) cos x = 2√2/3; x2 = +- arccos (2√2/3) + 2pi*n

Если cos^2 x = 8/9, то sin^2 x = 1/9; sin x = +-1/3
Так что мы оба получили одинаковые ответы.

(320k баллов)
0 голосов
24tg^2x-9\sin^2x=2\\ 24tg^2x+24-9\sin^2x-24=2\\ 24(tg^2x+1)-9\sin^2x-26=0\\ 24\cdot \frac{1}{\cos^2x}-9\sin^2x-26=0\\ \frac{24}{1-\sin^2x} -9\sin^2x-26=0
  Пусть \sin ^2x=t\,\,(0 \leq t \leq 1), тогда получаем
\frac{24}{1-t}-9t-26=0|\cdot (1-t)\\ 24-9t+9t^2-26+26t=0\\ 9t^2+17t-2=0\\ D=b^2-4ac=17^2-4\cdot 9\cdot(-2)=361\\ t_1= \frac{1}{9}
t_2=-2 - не удовлетворяет условию при t \in [0;1].

Возвращаемся к замене
\sin^2x= \frac{1}{9}\\ \sin x=\pm \frac{1}{3}\\ x=(-1)^k\cdot \arcsin(\pm\frac{1}{3})+ \pi k,k \in Z
Похожие задачи