В самом деле, свойство r = (a + b - c)/2 доказывается для прямоугольного треугольника без использования теоремы Пифагора, так же как и S = ab/2. (а, b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности, S - площадь)
Остаётся записать равенство
ab/2 = [(a + b + c)/2]*[(a + b - c)/2] (дальее это надо преобразовать) = (a + b)^2/4 - c^2/4 = (a^2 + b^2 - c^2)/4 + ab/2;
Откуда
a^2 + b^2 - c^2 = 0; чтд