Четыре числа образуют геометрическую прогрессию . если к двум первым прибавить по 1, а к третьему и четвертому числам прибавить 7 и 25, то получится арифметическая прогрессия . Найдите числа образующие геометрическую.
(аn) - арифметическая прогрессия; (bn) - геометрическая прогрессия. b1 +1 = a1 b1 + 1 = a1 подстановка b2 + 1 = a2 b1q +1 = a1 +d b1q +1 = b1 +1 +d ⇒d = b1q - b1 b3 + 7= a3 b1q² + 7 = a1 + 2d b1q² + 7 = b1 + 1 + 2d b4 + 25 = a4 b1q³ + 25 = a1 + 3d b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3d сделаем подстановку в 3 и 4 уравнения: b1q² + 7 = b1 +1 + 2(b1q - b1) b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3(b1q - b1) теперь надо решить эту систему двух уравнений с двумя неизвестными. Упрощаем каждое уравнение b1q² - 2b1q + b1 = - 6 b1(q² -2q +1) = -6 b1q³ - 3b1q + 2b1 = -24 ⇒ b1(q³ - 3q + 2) = -24 Разделим первое уравнение на второе. Получим: (q² - 2q +1)/(q³ - 3q + 2) = 1/4⇒ 4q² - 8 q + 4 = q³ - 3q +2⇒q³ - 4q² + 5q -2 = 0 Получили уравнение 3-й степени. Его корни - это делители свободного члена. Возможные корни: +-1; + - 2 +- 1 не рассматриваем. Проверим + - 2 а) q = 2 8 - 16 + 10 - 2 = 0 б) q = -2 -8 -16 - 10 -2 ≠0 вывод: q = 2 b1(q² -2q +1) = -6 b1(4 -4 +1) = -6 b1·1 = -6 b1 = -6 геометрическая прогрессия: - 6; - 12; - 24; - 48