Маємо S=(1/2)*a*b*sinq
де q-кут трикутника, протилежний стороні с. За теоремою косинусів
с^2=a^2+b^2-2ab*cosq
Тоді
cosq= (a^2+b^2- с^2) /2ab
Так як
sin^2(q)=1- cos^2(q)=(1- cosq )(1+ cosq )=((2ab - a^2-b^2+ с^2)/2ab)( (2ab + a^2-b^2+ с^2)/2ab)=(1/(4a^2b^2))* (c-a+b)*(c+a-b)*(a+b-c)*(a+b+c)/
Але a+b+c=2p
a+b-c=2p-2c
a+c-b=2p-2b
c-a+b=2p-2a,
дістанемо:
sinq=(2/ab)*sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Таким чином
S=0,5 *a*b*sinq =sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}