Какой падеж у слова по пустынной улице
дательный падеж . по чему ? по улице от сущесьвительного задай вопрос к прилагательному по какой ? пустынной . какого падежа существительное - такого падежа и прилагательное с которым оно связано .
Надо задавать вопрос к существительному а не к прилагательное или глаголу
Идти по ЧЕМУ по улице. (Дательный падеж)