5. Дано: А(3;5;4), B(4;6;5), C (6;-2;1), D(5;-3;0). Доказать, что ABCD – параллелограмм.

Question

5. Дано: А(3;5;4), B(4;6;5), C (6;-2;1), D(5;-3;0). Доказать, что ABCD – параллелограмм.

Answer 1

|AB|=√((4-3)²+(6-5)²+(5-4)²)=√(1²+1²+1²)=√3
|BC|=√((6-4)²+(-2-6)²+(1-5)²)=√(2²+(-8)²+(-4)²)=√84
|CD|=√((5-6)²+(-3-(-2))²+(0-1)²)=√((-1)²+(-1)²+(-1)²)=√3
|DA|=√((3-5)²+(5-(-3))²+(4-0)²)=√((-2)²+8²+4²)=√84
|AB|=|CD|
|BC|=|DA|
  
α=(AB AD), α - угол между векторами АВ и AD
cosα=(AB*AD)/(|AB|*|AD|)
AB{4-3;6-5;5-4},  AB{1;1;1}
AD{3-5;5-(-3);4-0}, AD{-2;8;4}
AB*AD=1*(-2)+1*8+1*4=-2+8+4=12
cosα=12/(√3*√84), cosα≠0, ⇒α≠90°
вывод: ABCD - параллелограмм