Помогите пожалуйста решить номера 77,79,81 и 87.

Question 1

Question 2

77. $\int { \frac{dx}{x^2+x-12} }=\int { \frac{dx}{(x+4)(x-3)} }= \int {( \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-3} )} \, dx$
Метод неопределенных коэффициентов
$\frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x+4)}{(x+4)(x-3)} = \frac{Ax-3A+Bx+4B}{(x+4)(x-3)} =$
$\frac{x(A+B)+(-3A+4B)}{(x+4)(x-3)}= \frac{1}{(x+4)(x-3)}$
{ A + B = 0
{ -3A + 4B = 1
Получаем
{ B = -A
{ -3A - 4A = 1
A = -1/7; B = 1/7
$\int { \frac{dx}{x^2+x-12} }=\int { \frac{dx}{(x-3)(x+4)} }= \frac{1}{7} \int {( \frac{1}{x-3}- \frac{1}{x+4} )} \, dx = \frac{1}{7}ln| \frac{x-3}{x+4} | +C$

79) $\int { \frac{dx}{3+2x-x^2} }=-\int { \frac{dx}{x^2-2x-3} }=-\int { \frac{dx}{(x+1)(x-3)} }=- \int {( \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x-3})} \, dx$
Опять метод неопределенных коэффициентов
$\frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{Ax-3A+Bx+B}{(x+1)(x-3)} =$
$= \frac{x(A+B)+(-3A+B)}{(x+1)(x-3)} = \frac{1}{(x+1)(x-3)}$
{ A + B = 0
{ -3A + B = 1
Получаем
{ B = -A
{ -3A - A = 1
A = -1/4; B = 1/4
$\int { \frac{dx}{3+2x-x^2} }=-\int { \frac{dx}{x^2-2x-3} }=- \frac{1}{4} \int {(- \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{x-3} )} \, dx =$
$=\frac{1}{4} \int {(\frac{1}{x-3}- \frac{1}{x+1} )} \, dx = \frac{1}{4} ln| \frac{x-3}{x+1} |+C$

81) $\int { \frac{dx}{ \sqrt{x^2+6x+20} } }= \int { \frac{dx}{ \sqrt{x^2+6x+9+11} } }= \int { \frac{dx}{ \sqrt{(x+3)^2+11} } }=$
$=ln|x+\sqrt{(x+3)^2+11}|+C$

87) $\int { \frac{dx}{ \sqrt{15+12x-4x^2} } }=\int { \frac{dx}{ \sqrt{24-9+12x-4x^2} } }=\int { \frac{dx}{ \sqrt{24-(2x-3)^2} } }=$
$= \frac{1}{2} arcsin( \frac{2x-3}{ \sqrt{24} } )+C$